Die sechzehn (zweistelligen) Verknüpfungen der Aussagenlogik | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VorbemerkungDie Aussagenlogik, auch Satzlogik oder Junktorenlogik genannt, beschäftigt sich primär mit Schlüssen, also mit Übergängen von Prämissen zu einer Konklusion, die aufgrund der logischen Form der in ihnen vorkommenden Aussagen korrekt sind. Eine Aussage im logischen Sinne ist ein wahrheitsdefiniter Satz. Wahrheitsdefinitheit ist die Eigenschaft entweder wahr oder falsch zu sein. Diese Festlegung wird als die "Zweiwertigkeit der Logik" bezeichnet. >Wahr< und >falsch< heißen in der Logik Wahrheitswerte. Funktoren sind logische Operatoren, die eine oder mehrere Aussagen zu einer neuen Aussage umformen. Zweistellige (dyadische oder binäre) Funktoren, auch Junktoren genannt, verknüpfen zwei Teilaussagen so zu einer Gesamtaussage, dass der Wahrheitswert der Gesamtaussage durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen eindeutig bestimmt wird.1 Da es zwei Wahrheitswerte und vier Möglichkeiten gibt, diese Wahrheitswerte auf zwei Aussagen zu verteilen, ergeben sich 24 = 16 mögliche dyadische Aussageverknüpfungen, die im folgenden dargestellt sind. Das jeweils in der Mitte befindliche Schema, welches mit >d<
gekennzeichnet ist und die betreffende Aussageverknüpfung definiert, heißt Wahrheitstafel.
In ihrer ersten Zeile sind beide Aussagen wahr. In der zweiten Zeile ist nur die erste Aussage a,
in der dritten Zeile nur die zweite Aussage b wahr. Die vierte Zeile schließt beide Aussagen aus, d.h.
sie sind beide falsch. Mithin sind die ersten beiden Spalten der sechszehn Wahrheitstafeln identisch, während die
dritte Spalte jeweils variiert und so die sechszehn Verknüpfungen voneinander abgrenzt.
Da jedoch in der logischen Literatur, um die Verwendung von sechszehn verschiedenen Junktorenzeichen zu vermeiden, diese oft durch die drei Funktoren Negator, Konjunktor und Disjunktor 2 umschrieben werden, sind auch diese Formeln (unter >a<) angegeben. Diese Darstellungsform ist allerdings keineswegs die einzig mögliche. Neben den denkbar vielen Kombinationen von Funktoren, mit denen alle restlichen eliminierbar sind, bietet sich sogar die Möglichkeit an, alle Verknüpfungen durch einen einzigen Junktor auszudrücken: durch die Exklusion (Nr.9) bzw. die Rejektion (Nr. 15). Die entsprechenden Formeln mit der Exklusion als Verknüpfungsbasis stehen unter >b<. Die Bezeichnungen und Junktorenzeichen sind den folgenden Einführungen entnommen:
Zur Veranschaulichung wurden zudem Darstellungen aus der Mengenlehre in die Übersicht aufgenommen: In der Graphik >c< bezeichnet der linke Kreis die Aussage a, der rechte Kreis die Aussage b. Die Schnittmenge der beiden Kreise korrespondiert der ersten Zeile der Wahrheitstafel, in der beide Aussagen zugleich wahr sind. Der linke Kreis ohne diese Schnittmenge entspricht der zweiten, der rechte Kreis ohne die Schnittmenge entspricht der dritten Zeile. Das Äußere beider Kreise gleicht schließlich der vierten Zeile der Wahrheitstafel, in der beide Aussagen zugleich falsch sind. Die jeweils mögliche(n) unter diesen insgesamt vier in Frage kommenden Optionen sind in der Graphik >c< mit der entsprechenden Farbe markiert. In der Graphik >e< wird die Aussage a durch das linke, horizontal linierte, die Aussage b durch das rechte, vertikal linierte Rechteck dargestellt. Hier sind jedoch im Gegensatz zu den anderen beiden Graphiken nur die möglichen Optionen überhaupt zu sehen. Allein die Graphik >1.e.< speziell für die Tautologie gleicht insofern der Graphik >c<, als in beiden alle vier Optionen graphisch enthalten sind, weil nur bei der Tautologie eben alle vier Optionen eingeschlossen sind. Bei den übrigen Aussageverknüpfungen sind die ausgeschlossenen Optionen auch aus der Darstellung ausgeschlossen. Die jeweils unmöglichen Optionen (in der Graphik >c< mit dunkler Farbe und in der Graphik >d< mit dunkler Farbe und >f< gekennzeichnet) kommen in der letzten Darstellung also überhaupt nicht vor. Wahrheitstafel
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